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学習ノート◆物理のかぎしっぽ「代数学」

・代数学の基本定理

元記事
「未知数が代数式の形で表される方程式を 代数方程式 と呼びます.」

「代数式」「代数的解法」というときと、
「代数方程式」「ある数が代数的」というときとは、「代数」の意味が異なるのでは?

・代数式:有限の文字・数字を四則・冪根のみでつないだ式。

整式⊂有理式(=整式と分数式)⊂代数式(=有理式と無理式)

例: $\sqrt{\pi x + e}$ は代数式。 $2^x$ は代数式ではない。

・代数的解法:方程式の根を、係数の代数式で(一般的に)表すこと。

これに対して、

・代数方程式:「整式 = 0」の形に整理される方程式(係数体は別途指定する)。

例: $\sqrt{x + 1} - 2 = 0$ の左辺は代数式だが、この方程式は代数方程式と呼ばない。
$2^x - 1 = 0$ は、代数方程式ではない。
$ex^2 + \pi x - 2 = 0$ は、実数体上の代数方程式のひとつ。

・ある数が「体K上で代数的」である:
その数が、係数体K上の代数方程式の根となりうる(自分を根に持つようなK上の代数方程式が存在する)。

例:すべての有理数は、有理数体上で代数的。
$\sqrt{2}$ は無理数、 $i$ は虚数だが、いずれも有理数体上で代数的。それぞれ、 $x^2 - 2 = 0$ 、 $x^2 + 1 = 0$ という方程式を作ればよい。
$e$ 、 $\pi$ はともに有理数体上で超越的、実数体上では代数的。

自分の属する体上ではもちろん代数的( $x - \alpha = 0$ という方程式を作ればよいから)。

このように、「代数的か超越的か」という言葉は、
「どの係数体上での話か」を指定しなければ(本来は)意味をなさない。
ただし、特に係数体が有理数体の場合に注目して、
単に「代数的数」というと、「有理数体上で代数的な数」を指す。

たとえ5次以上であっても、代数方程式の根は(定義により)「K上で代数的な数」である。
(Kが有理数体なら、根は「代数的数」である)。
それにもかかわらず、5次以上の代数方程式には代数的解法が存在しない。

・群の公理

元記事
単位元の存在:
∃e s.t. α・e = e・α = α for ∀α∈G
逆元の存在:
∃α-1 s.t. α・α-1 = α-1・α = e for ∀α∈G

このs.t.は"such that"の略。「〜となるような」ぐらいの意味で、条件があとに続く。
単位元も逆元も「∃☆s.t. …… for ∀α∈G」、すなわち
「すべてのα(∈G)に対して、……となる☆が存在する」という形をしているが、
両者には大きな違いがある。

単位元では、α・e = e・α = α を満たすeはαごとに異なっていてはならず、
すべてのαに共通のものでなければならない。
これに対して、逆元α-1は、αごとに異なっていてよい。

上の論理式の書き方だと、この違いが区別できない。括弧を用いれば、

単位元:
∃e s.t. (α・e = e・α = α for ∀α∈G)
逆元:
(∃α-1 s.t. α・α-1 = α-1・α = e) for ∀α∈G

となる。

例4について:

「2×2行列全体は乗法について閉じているが、そのうちの正則行列だけの世界を考えても、やはり閉じている」、すなわち
「正則な行列同士の積が非正則になる、ということはあり得ない」ということに注意。

例5について:

ちょっと分かりにくいかも。

f(x) = □x + △ (□ ≠ 0)という形のすべての関数は、「関数の合成」という演算に関して群を作る、ということだろうか。

1.「閉じている」こと

f(x) = ax + b (a ≠ 0)、g(x) = cx + d (c ≠ 0)とおくと、
(f・g)(x) = f(g(x)) = a(cx + d) + b = (ac)x + (ad + b)
ac、ad + b はともに実数で、しかも ac ≠ 0 であることから、演算「・」(関数の合成)について閉じていることが分かる。

★f = (a, b)、g = (c, d) という表記を用いれば、f・g = (ac, ad + b)

2.結合則
(省略)

3.単位元
e(x) = 1・x + 0 が単位元。
(f・e)(x) = f(e(x)) = a(1・x + 0) + b = ax + b = f(x) すなわち、f・e = f
(e・f)(x) = e(f(x)) = 1・(ax + b) + 0 = ax + b = f(x) すなわち、e・f = f

4.逆元
f(x) = ax + b に対して、f-1(x) = (1/a)x + (-b/a) と置くと、
(f・f-1)(x) = f(f-1(x)) = a[(1/a)x + (-b/a)] + b = x = e(x) すなわち、 f・f-1 = e
(f-1・f)(x) = f-1(f(x)) = (1/a)(ax + b) + (-b/a) = x = e(x) すなわち、 f-1・f = e

★元記事の「f(f-1(ax + b)) = f-1(f(ax + b)) = x」というのは誤植と思われる。

例6について:

整数全体は,乗法に関して群にはなりません.乗法の逆演算は,逆数を掛けることですが,逆数は,分子が分母で割り切れない限り,整数にはならないからです.
整数全体の集合は乗法に関して、群の公理のうち(1)閉じている、(2)結合則、(3)単位元(すなわち、1)の存在、までは満たしている。
しかし、(4)(全ての元に)逆元がある、は成り立たない。
1の逆元は1、-1の逆元は-1であるが、逆元が存在するのはこの2つだけであり、
それ以外の整数zに関しては z・w = w・z = 1 を満たすwは存在しない。
「逆演算」まで考えなくても、単に「乗法の逆元とは逆数のことだが、整数の逆数は(一般には)整数にならないから」ということでも理解できる。

・対称群

元記事

「対称群」セクション
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つまり、この集合は、演算の合成に対して閉じています。

「『並び替えの合成』という演算について閉じている」ということかな。

全部の並びを,一つずつずらすような置換を, 巡回置換 と呼びます.

「一つずつずらす」と言っても、ここで挙げられている例のように隣に移動させるも